HDMIケーブルを調達してきたものの、状況は変わりませんでした。
となると原因はHD6970（のドライバ?）という気がしてきますが、古いのを順番に試すのは結構骨が折れるんですよね…

とはいえまあまあ死活問題ですので試していきたいと思います。